3,141592653589793…

On connaît souvent les premières décimales de π. Certains les ont même apprises par cœur. Mais au fond, que représentent vraiment tous ces chiffres ?

Pourquoi π commence-t-il par 3,14 ? D’où vient ce nombre mystérieux et pourquoi ses décimales ne s’arrêtent-elles jamais ? Une petite histoire du nombre le plus célèbre des cercles.

Pour le comprendre, pas besoin de commencer par une formule compliquée.

Prenons simplement un cercle et un mètre ruban.

Mesurez son diamètre. Puis faites le tour du cercle et mesurez sa circonférence. Divisez la deuxième mesure par la première.

Vous obtiendrez toujours le même nombre.

π.

Et c’est ça qui est mystérieux : une forme géométrique aussi simple qu’un cercle donne naissance à un nombre dont les décimales ne s’arrêtent jamais.

π, c’est quoi au juste ?

Prenons une assiette ronde.

La distance qui fait tout le tour de l’assiette est sa circonférence. La distance qui traverse l’assiette en passant exactement par son centre est son diamètre.

Divisons la circonférence par le diamètre.

Pour n’importe quel cercle, le résultat est toujours le même :

π ≈ 3,14

Par exemple, si le diamètre mesure 10 cm, la circonférence mesure environ 31,4 cm :

31,4 ÷ 10 = 3,14

Si le diamètre mesure 20 cm, la circonférence mesure environ 62,8 cm :

62,8 ÷ 20 = 3,14

Le cercle a doublé de taille, mais le rapport entre son contour et son diamètre n’a pas changé.

C’est précisément ce rapport constant que l’on appelle π.

On peut donc résumer le principe avec une opération toute simple :

π = circonférence ÷ diamètre

Que l’on mesure une pièce de monnaie, une roue de vélo ou un cercle immense, le rapport reste le même.

Et c’est déjà si intriguant !

Mais pourquoi tombe-t-on toujours sur 3,14 ?

Parce que π est une constante mathématique.

Si l’on connaît le diamètre d’un cercle, on peut utiliser π pour retrouver sa circonférence :

circonférence = π × diamètre

Et si l’on connaît son rayon, on peut également calculer son aire :

aire = π × rayon²

Autrement dit, derrière ce petit nombre qui commence par 3,14 se cache une quantité impressionnante de géométrie.

Mais quelque chose cloche.

Si π vaut 3,14… pourquoi les chiffres après la virgule continuent-ils indéfiniment ?

Alors, est-ce que π est infini ?

Non… et oui.

Cette réponse paraît contradictoire, mais elle permet de comprendre quelque chose d’important.

π n’est pas un nombre « infiniment grand ». Il a une valeur bien précise, comprise entre 3 et 4 :

3 < π < 4

Sa valeur commence ainsi :

3,141592653589793238462643383279…

Le nombre lui-même est donc parfaitement défini.

En revanche, son écriture décimale est infinie.

Les chiffres continuent après la virgule.

Et il n’y a pas de dernier chiffre.

Ce n’est pas parce que les mathématiciens n’ont pas encore réussi à le trouver. Ce dernier chiffre n’existe tout simplement pas.

C’est une distinction importante : π n’est pas « infini » au sens où il serait infiniment grand. C’est son développement décimal qui ne s’arrête jamais.

Mais pourquoi ?

Pourquoi les décimales de π ne s’arrêtent-elles pas ?

Pour comprendre cela, il faut faire connaissance avec un mot qui paraît compliqué mais qui cache une idée assez simple : irrationnel.

Un nombre irrationnel est un nombre que l’on ne peut pas écrire exactement sous la forme d’une fraction de deux nombres entiers.

Prenons :

1/2 = 0,5

L’écriture décimale s’arrête.

Même chose avec :

3/4 = 0,75

Mais toutes les fractions ne donnent pas une écriture qui s’arrête.

Par exemple :

1/3 = 0,333333…

Les chiffres continuent indéfiniment, mais ils suivent toujours le même motif : le 3 se répète.

Avec π, c’est différent :

3,14159265358979323846…

Les chiffres ne s’arrêtent pas et ne se répètent pas selon un motif fixe.

C’est ce que signifie le fait que π soit irrationnel.

Cette propriété a été démontrée au XVIIIe siècle par le mathématicien Johann Heinrich Lambert.

Et elle répond à notre question.

Pourquoi ne trouve-t-on jamais le dernier chiffre de π ?

Parce qu’il n’y en a pas.

Mais π n’a pas toujours été écrit avec toutes ces décimales.

Alors, qui l’a découvert ?

Mais qui a inventé π ?

Personne.

π n’est pas une invention mathématique comme un symbole ou une formule, le nombre était là avant qu’on lui donne un nom.

Dès que les humains ont commencé à mesurer des cercles, ils ont pu constater quelque chose d’étrange : quelle que soit la taille du cercle, le rapport entre sa circonférence et son diamètre restait le même.

Les premières civilisations ont donc cherché à approcher cette valeur.

Dans l’Égypte ancienne, le papyrus Rhind, rédigé vers 1650 avant notre ère, contient une méthode de calcul qui revient à utiliser une valeur de π d’environ 3,16.

Dans l’ancienne Mésopotamie, des mathématiciens utilisaient également des valeurs approchées de π.

À cette époque, évidemment, personne n’écrivait :

π = 3,141592653589793…

Il s’agissait simplement de trouver une valeur suffisamment précise pour effectuer des calculs.

Le nombre π n’a donc pas été inventé.

Les humains l’ont progressivement découvert en étudiant les cercles.

Et quelqu’un va bientôt trouver une façon particulièrement ingénieuse de l’approcher.

Archimède a eu une idée brillante

Comment mesurer quelque chose que l’on ne peut pas mesurer parfaitement ?

Vers 250 avant notre ère, le mathématicien grec Archimède trouve une solution élégante.

Au lieu d’essayer de mesurer directement le cercle, il va l’enfermer entre des polygones.

Imaginez un cercle.

À l’intérieur, dessinez un polygone. Son périmètre est plus petit que celui du cercle.

Puis dessinez un autre polygone autour du cercle. Son périmètre est plus grand.

Si l’on augmente progressivement le nombre de côtés de ces polygones, leurs contours se rapprochent de celui du cercle.

Archimède peut ainsi encadrer progressivement la valeur de π.

Avec sa méthode, il obtient notamment :

223/71 < π < 22/7

Il sait donc que π se trouve entre ces deux valeurs.

Cela peut sembler assez éloigné de :

3,141592653589793…

Pourtant, c’est une approximation remarquable pour l’époque.

Et surtout, Archimède ne dit pas que :

π = 22/7

22/7 est une approximation de π. Ce n’est pas π.

Cette confusion existe encore aujourd’hui.

Mais il reste une question : si le nombre était connu depuis si longtemps, quand lui a-t-on donné son fameux symbole ?

D’où vient le symbole π ?

Le nombre π était connu et étudié depuis des siècles avant d’avoir son symbole actuel.

En 1706, le mathématicien gallois William Jones utilise la lettre grecque π pour désigner le rapport entre la circonférence et le diamètre.

Il est généralement admis que son choix fait probablement référence au grec perimetros, qui signifie « périmètre » ou « circonférence ».

Mais le symbole π ne devient vraiment courant qu’ensuite.

Au XVIIIe siècle, le mathématicien Leonhard Euler l’adopte notamment dans ses travaux, contribuant largement à sa popularisation.

Le nombre π est donc très ancien.

Le symbole que nous utilisons pour le désigner est beaucoup plus récent.

Pourquoi a-t-on besoin d’autant de chiffres ?

On pourrait maintenant se demander : si π ne s’arrête jamais, faut-il connaître tous ses chiffres pour l’utiliser ?

Heureusement, non.

Pour calculer la circonférence d’une roue, l’aire d’un cercle ou effectuer un calcul courant, 3,14 est souvent largement suffisant.

Si l’on a besoin de davantage de précision, on peut utiliser :

3,14159

3,1415926535

ou encore beaucoup plus de décimales.

Les ordinateurs sont aujourd’hui capables d’en calculer un nombre absolument gigantesque.

Mais cela ne change rien à l’essentiel.

Même si nous connaissions un billion de décimales de π, il en resterait encore une infinité derrière.

Parce que l’écriture de π ne s’arrête jamais.

Et pourtant, connaître toujours plus de chiffres ne signifie pas que nous comprenons tout ce qu’ils cachent.

Les chiffres de π cachent-ils encore un mystère ?

Nous connaissons aujourd’hui un nombre gigantesque de décimales de π.

Pourtant, les mathématiciens ne savent toujours pas démontrer certaines propriétés concernant la façon dont ces chiffres se répartissent.

Prenons par exemple la question de la normalité de π.

Un nombre est dit normal dans une base donnée si, de manière très simplifiée, toutes les suites possibles de chiffres y apparaissent avec la fréquence attendue.

Si π était normal en base 10, cela signifierait notamment que les chiffres de 0 à 9 apparaîtraient chacun environ aussi souvent sur une très longue portion de son écriture, et que toutes les suites possibles de chiffres se retrouveraient également selon des fréquences prévisibles.

Les très nombreuses décimales de π calculées jusqu’ici présentent des comportements compatibles avec cette idée.

Mais observer quelque chose n’est pas la même chose que le démontrer mathématiquement.

À ce jour, on ne sait toujours pas démontrer que π est un nombre normal.

On connaît donc π avec une précision extraordinaire, tout en ignorant encore certaines de ses propriétés.

Et c’est peut-être là que ce nombre devient vraiment fascinant.

Pourquoi π fascine-t-il autant ?

Depuis l’Antiquité, π intrigue les mathématiciens.

Certains ont consacré une grande partie de leur vie à calculer ses décimales.

Au XVIe siècle, Ludolph van Ceulen en calcule 35 et demande même que ces chiffres soient gravés sur sa tombe.

D’autres ont cherché à résoudre la célèbre quadrature du cercle, c’est-à-dire construire un carré ayant exactement la même aire qu’un cercle à l’aide d’une règle et d’un compas.

Le problème ne sera définitivement déclaré impossible qu’après la démonstration, en 1882, que π est un nombre transcendant.

Et aujourd’hui encore, les décimales de π continuent de fasciner : on en connaît des quantités vertigineuses, mais certaines de leurs propriétés restent inconnues.

On peut donc calculer π toujours plus loin sans jamais épuiser le mystère de ce nombre.

Finalement, d’où vient π ?

π ne vient pas d’une formule compliquée inventée par les mathématiciens.

Il est né d’une question beaucoup plus simple :

Quel rapport existe entre le tour d’un cercle et son diamètre ?

La réponse est toujours la même :

π = 3,141592653589793…

Les anciennes civilisations ont cherché à l’approcher. Archimède a trouvé une méthode ingénieuse pour l’encadrer. Des siècles plus tard, les mathématiciens ont démontré que π était irrationnel : ses décimales ne peuvent donc ni s’arrêter ni se répéter selon un motif fixe.

Et pourtant, il reste encore des choses à découvrir sur ce nombre.

C’est peut-être ce qui rend π si passionnant.

Le cercle est l’une des formes les plus simples que l’on puisse imaginer.

Pourtant, le nombre qui relie son diamètre à sa circonférence possède une infinité de décimales et cache encore des propriétés que les mathématiciens ne savent pas démontrer.

On peut calculer toujours plus de chiffres.

Mais on ne trouvera jamais le dernier.

À retenir

π est le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre.
π vaut environ 3,14159.
π n’est pas infiniment grand : il est compris entre 3 et 4.
Son écriture décimale est infinie : il n’existe pas de dernier chiffre.
π est irrationnel : il ne peut pas être écrit exactement sous forme de fraction.
Les premières approximations de π remontent à l’Antiquité.
Archimède, vers 250 avant notre ère, a développé une méthode géométrique pour encadrer π.
22/7 est une approximation de π, pas sa valeur exacte.
Le symbole π a été utilisé pour ce nombre par William Jones en 1706, avant d’être popularisé notamment par Euler.
Les mathématiciens ne savent toujours pas démontrer que π est un nombre normal.